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El fin de las matemáticas: el descubrimiento sobre los infinitos que sacude a la ciencia

Cardinales exactos y ultra exactos abren un nuevo capítulo en la teoría de conjuntos.

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El concepto de "infinito" puede parecer sencillo a simple vista, pero se torna considerablemente más complejo a medida que profundizamos en su naturaleza. 

Esta situación se debe a que, aunque el infinito se concibe como una secuencia interminable de números, en realidad está compuesto por una jerarquía de infinitos, cada uno de los cuales presenta un grado de complejidad superior. 

De hecho, recientemente, científicos de la Universidad Tecnológica de Viena y de la Universidad de Barcelona identificaron dos nuevos tipos de infinito, conocidos como "cardinales exactos" y "ultra exactos"

Este descubrimiento desafía la estructura jerárquica tradicional de los infinitos, exhibiendo propiedades que no se alinean con la comprensión convencional. 

Los detalles de estos conjuntos infinitos fueron presentados en un artículo publicado en el servidor de preimpresión arXiv, aún no revisado por pares.

 Rompiendo las barreras del infinito: un nuevo capítulo en la historia de las matemáticas. Fuente: FreePik.  

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Descubren dos nuevos tipos de infinito: cardinales exactos y ultra exactos

Recientemente, matemáticos de la Universidad Tecnológica de Viena y de la Universidad de Barcelona identificaron dos nuevos tipos de infinito, conocidos como cardinales exactos y ultra exactos. 

Estos conjuntos infinitos tienen propiedades inusuales que los apartan de la jerarquía estándar de infinitos establecida en la teoría matemática tradicional. 

Tradicionalmente, los matemáticos clasifican los infinitos dentro de una estructura jerárquica basada en su tamaño, pero los nuevos descubrimientos no siguen esta estructura de manera sencilla.

Según Juan Aguilera, coautor del estudio de la Universidad Tecnológica de Viena, estos infinitos son tan complejos que no se pueden ordenar dentro de la jerarquía convencional de cardinales

En lugar de simplemente ser más grandes que los cardinales tradicionales, los cardinales exactos y ultra exactos interactúan con otros conceptos de infinito de formas extrañas e inesperadas. 

Este descubrimiento sugiere que el concepto de infinito podría ser aún más complejo de lo que se pensaba, y abre nuevas posibilidades para la comprensión de los conjuntos infinitos en matemáticas. 

 Infinitos rebeldes: cardinales exactos y ultra exactos rompen las reglas. Fuente: Shutterstock. 

Desafíos en el axioma de la elección y la teoría de conjuntos

El concepto de infinito en matemáticas está íntimamente relacionado con un principio fundamental conocido como el axioma de la elección, crucial en la teoría de conjuntos. 

Este axioma sostiene que es posible crear nuevos conjuntos seleccionando elementos de otros conjuntos, lo que genera una jerarquía bien establecida de los infinitos.

De forma convencional, los infinitos se agrupan en tres categorías principales: los que se ajustan a los axiomas de la teoría de conjuntos, aquellos tan grandes que parecen pertenecer a una especie de "matemáticas del caos", y los que se encuentran en una región intermedia entre estos dos extremos.

Sin embargo, los investigadores de la Universidad Tecnológica de Viena y la Universidad de Barcelona encontraron dificultades a la hora de encajar los cardinales exactos y ultra exactos en la jerarquía establecida por el axioma de la elección. 

Aunque pensaron que estos infinitos estarían en la región intermedia, no lograron ubicar su posición exacta dentro del marco tradicional. 

Uno de los conceptos afectados podría ser la teoría de los ordinales definibles hereditarios, que sostiene que el axioma de la elección organiza los infinitos de forma coherente. 

La existencia de los cardinales exactos y ultra exactos podría desafiar esta teoría, ya que sus interacciones inusuales sugieren que no siguen las reglas tradicionales de la teoría de conjuntos.

Si bien estos nuevos tipos de infinito aún no fueron aceptados de manera generalizada por la comunidad matemática, su descubrimiento representa un avance interesante.

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